סטודappleטים יקרים. לפappleיכם ספר תרגילים בקורס הסקה סטטיסטית לכלכלappleים. הספר הוא חלק מקורס חדשappleי וראשון מסוגו בארץ בappleושא זה, המועבר

Transcript

1 סטודappleטים יקרים לפappleיכם ספר תרגילים בקורס הסקה סטטיסטית לכלכלappleים. הספר הוא חלק מקורס חדשappleי וראשון מסוגו בארץ בappleושא זה, המועבר ברשת האיappleטרappleט.O-lie הקורס באתר כולל פתרוappleות מלאים לספר התרגילים, וכן את התיאוריה הרלווappleטית לכל appleושא וappleושא. הקורס כולו מוגש בסרטוappleי וידאו המלווים בהסבר קולי, כך שאתם רואים את התהליכים בצורה מובappleית, שיטתית ופשוטה, ממש כפי שappleעשה בשיעור פרטי, לדוגמה לחצו כאן. את הקורס בappleה מר ברק קappleדל, מרצה מבוקש במוסדות אקדמיים שוappleים ובעל appleיסיון עתיר בהוראת המקצוע. אז אם אתם עסוקים מידי בעבודה, סובלים מלקויות למידה, רוצים להצטיין או פשוט אוהבים ללמוד בשקט בבית, אappleחappleו מזמיappleים אתכם לחוויית לימודים יוצאת דופן וחדשה לחלוטין, היכappleסו עכשיו לאתר. אappleו מאחלים לכם הצלחה מלאה בבחיappleות צוות האתר GooL

2 פרק - התפלגויות רציפות מיוחדות - התפלגות תוכן נורמלית...3 פרק - קומבינציותלינאריותלהתפלגותנורמאלית... פרק 3 - התפלגות הדגימה- ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי...5 פרק 4 - התפלגות הדגימה- התפלגות סכוםתצפיות המדגם ומשפט הגבול המרכזי...4 פרק 5 - סטטיסטיקהתיאורית- סיווג משתנים וסולמותמדידה... 8 פרק 6 - סטטיסטיקהתיאורית- הצגה של נתונים... 3 פרק 7 - סטטיסטיקהתיאורית- מדדי מיקום מרכזי...38 פרק 8 - סטטיסטיקהתיאורית- מדדיפיזור: הטווח, השונותוסטייתהתקן פרק 9 - סטטיסטיקהתיאורית- מדדימיקוםיחסי- ציון תקן...49 פרק 0 - סטטיסטיקהתיאורית- מדדימיקוםיחסי- אחוזונים בטבלת שכיחויות בדידה... 5 פרק - סטטיסטיקהתיאורית- שאלותמסכמות פרק - סטטיסטיקהתיאורית- שאלות אמריקאיות...60 פרק 3 - מדדיקשר- מדדהקשרשל קרמר...69 פרק 4 - מדדיקשר- מדדהקשרהלינארי (פירסון)... 7 פרק 5 - הסקהסטטיסטית- הקדמה פרק 6 - אמידהנקודתית אומד נראות מקסימלית...90 פרק 7 - רווחסמךלתוחלת פרק 8 - טעויות ועוצמהבבדיקת השערות (ממוצע האוכלוסייה)... כללית... תשובותסופיות- טעויות ועוצמהבבדיקת השערות כללית... 3 פרק 9 - בדיקת השערות על תוחלת (ממוצע)... 4 פרק 0 - בדיקת השערות על הפרש תוחלותבמדגמיםבלתיתלויים פרק - רווחסמךלהפרשתוחלות ממדגמים בלתיתלויים פרק - בדיקת השערות על תוחלתההפרשיםבמדגמים מזווגים (תלויים)...63 פרק 3 - רווחסמךלתוחלת ההפרש במדגם מזווג...69 פרק 4 - הקשרביןרווחסמךלבדיקתהשערות על הפרש תוחלות... 7 פרק 5 - בדיקתהשערות פרק 6 - מבחני חיבריבוע...78

3 3 פרק - התפלגויות רציפות מיוחדות - התפלגות appleורמלית רקע: התפלגות appleורמלית היappleה התפלגות של משתappleה רציף. ישappleם משתappleים רציפים מסוימים שappleהוג להתייחס אליהם כappleורמליים כמו: זמן ייצור, משקל תיappleוק ביום היוולדו ועוד. פוappleקציית הצפיפות של ההתפלגות הappleורמלית appleראית כמו פעמון: לעקומה זו קוראים גם עקומת גאוס ועקומה אחת appleבדלת מהשappleייה באמצעות הממוצע וסטיית התקן שלה. אלה הם הפרמטרים שמאפייappleים את ההתפלגות. X N µ σ (, ) appleוסחת פוappleקציית הצפיפות : f ( x µ ) σ ( x) = e πσ כדי לחשב הסתברויות בהתפלגות appleורמלית יש לחשב את השטחים הרלבappleטים שמתחת לעקומה. כדי לחשב שטחים אלה appleמיר כל התפלגות appleורמלית להתפלגות appleורמלית סטappleדרטית על ידי תהליך הappleקרא תקappleון. התפלגות appleורמלית סטappleדרטית היא התפלגות appleורמלית שהממוצע שלה הוא אפס וסטיית התקן היא אחת והיא תסומן באות Z. תהליך התקappleון מבוצע על ידי הappleוסחה הבאה : אחרי תקappleון מקבלים ערך הappleקרא ציון תקן. ציון התקן משמעו בכמה סטיות תקן הערך סוטה מהממוצע. Z N(0, ) Z = X µ σ לאחר חישוב ציון התקן של ערך מסוים appleעזרים בטבלה של ההתפלגות הappleורמלית הסטappleדרטית לחישוב השטח הרצוי.

4 4 ובאופן כללי appleתאר את הסכמה הבאה : X N µ σ (, ) Z N(0, ) X µ Z = σ שימוש בטבלה P Ф(a) -Ф(a) a Ф(-a)=- Ф (a) Ф(a) -a

5 5 טבלת ההתפלגות המצטברת הappleורמלית סטappleדרטית ערכי Φ(z) Φ(z) z z z Φ(z)

6 6 דוגמה: (הפתרון בהקלטה) גרם. א. ב. ג. ד. משקל חפיסות שוקולד המיוצרות בחברה מתפלג appleורמלית עם ממוצע 00 גרם בסטיית תקן של 8 מה אחוז חפיסות השוקולד ששוקלות מתחת ל- מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מעל 0 גרם? 0 גרם? מה אחוז חפיסות השוקולד השוקלות מתחת ל 9 גרם? מהו המשקל ש 90% מהחפיסות בקו הייצור שוקלים פחות מהם?

7 7 תרגילים:. הגובה של אappleשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג appleורמלית עם ממוצע של 70 ס"מ וסטית תקן של 0 ס"מ. א. מה אחוז האappleשים שגובהם מתחת ל- 8.4 ס"מ.? ב. מה אחוז האappleשים שגובהם מעל 90 ס"מ? ג. מה אחוז האappleשים שגובהם בדיוק 73.6 ס"מ? ד. מה אחוז האappleשים שגובהם מתחת ל- 70 ס"מ? ה. מה אחוז האappleשים שגובהם לכל היותר 70 ס"מ?. appleתון שהזמן שלוקח לתרופה מסוימת להשפיע מתפלג appleורמלית עם ממוצע של 30 דקות ושוappleות של 9 דקות רבועות. א. מהי פרופורציית המקרים בהן התרופה תעזור אחרי יותר משעה? ב. מה אחוז מהמקרים שבהן התרופה תעזור בין 35 ל- 37 דקות? ג. מה הסיכוי שהתרופה תעזור בדיוק תוך 36 דקות? ד. מה שיעור המקרים שבהן ההשפעה של התרופה תסטה מ- 30 דקות בפחות מ- 3 דקות? המשקל של אappleשים באוכלוסייה מסוימת מתפלג appleורמלית עם ממוצע של 60 ק"ג וסטיית תקן של 8 ק"ג. א. מה אחוז האappleשים שמשקלם appleמוך מ- 55 ק"ג? ב. מהי פרופורציית האappleשים באוכלוסייה שמשקלם לפחות 50 ק"ג? ג. מהי השכיחות היחסית של האappleשים באוכלוסייה שמשקלם בין 60 ל- 70 ק"ג? ד. לאיזה חלק מהאוכלוסייה משקל הסוטה מהמשקל הממוצע בלא יותר מ- 4 ק"ג? ה. מה הסיכוי שאדם אקראי ישקול מתחת ל 40 ק"ג?.3 א. ב. 4. משקל תיappleוקות ביום היוולדם מתפלג appleורמלית עם ממוצע של 3300 גרם וסטיית תקן 400 גרם. מצאו את העשירון העליון. מצאו את האחוזון ה 95. ג. מצאו את העשירון התחתון.

8 8 ב. ג. ד. 5. ציוappleי מבחן איappleטיליגappleציה מתפלג appleורמלית עם ממוצע 00 ושוappleות. 5 א. מה העשירון העליון של הציוappleים במבחן האיappleטיליגappleציה? מה העשירון התחתון של ההתפלגות? מהו הציון ש- 0% מהappleבחappleים מקבלים מעליו? מהו האחוזון ה- 0? ה. מהו הציון ש- 5% מהappleבחappleים מקבלים מתחתיו? 6. appleפח משקה בבקבוק מתפלג appleורמלית עם סטיית תקן של 0 מ"ל, appleתון ש 33% מהבקבוקים הם עם appleפח שעולה על מ"ל. א. מה ממוצע appleפח משקה בבקבוק? ב. 5% מהבקבוקים המיוצרים עם הappleפח הגבוה ביותר appleשלחים לבדיקה, החל מאיזה appleפח שולחים בקבוק לבדיקה? ג. % מהבקבוקים עם הappleפח הקטן ביותר appleתרמים לצדקה, מהו הappleפח המקסימלי לצדקה? 7. אורך חיים של מכשיר מתפלג appleורמלית. ידוע שמחצית מהמכשירים חיים פחות מ- 500 שעות, כמו כן ידוע ש- 67% מהמכשירים חיים פחות מ- 544 שעות. א. מהו ממוצע אורך חיי מכשיר? ב. מהי סטית בתקן של אורך חיי מכשיר? ג. מה הסיכוי שמכשיר אקראי יחיה פחות מ- 460 שעות? ד. מהו המאון העליון של אורח חיי מכשיר? ה. % מהמכשירים בעלי אורך החיים הקצר ביותר appleשלח למעבדה לבדיקה מעמיקה. מהו אורך החיים המקסימלי לשליחת מכשיר למעבדה?.8 להלן שלוש התפלגויות appleורמליות של שלוש קבוצות שוappleות ששורטטו באותה מערכת צירים.

9 9 ההתפלגויות מוספרו כדי להבדיל ביappleהן. א.לאיזו התפלגות הממוצע הגבוה ביותר? א. ב. במה מבין המדדים הבאים התפלגות ו זהות? בעשירון העליון. ב. בממוצע. ג. א. ב. ג. ד. בשוappleות. 3 ג. לאיזו התפלגות סטיית התקן הקטappleה ביותר? אין לדעת. הזמן שלוקח לאדם להגיע לעבודתו מתפלג appleורמלית עם ממוצע של 40 דקות וסטית תקן של 5 דקות. א. ב. ג. ד. מה ההסתברות שמשך הappleסיעה של האדם לעבודתו יהיה לפחות שלושת רבעי השעה? אדם יצא לעבודתו בשעה 08:0 מביתו. הוא צריך להגיע לעבודתו בשעה. 09:00 מה הסיכוי שיאחר לעבודתו? אם ידוע שזמן appleסיעתו לעבודה היה יותר משלושת רבעי השעה. מה ההסתברות שזמן הappleסיעה הכולל יהיה פחות מ- 50 דקות? מה הסיכוי שבשבוע (חמישה ימי עבודה ( בדיוק פעם אחת יהיה זמן הappleסיעה לפחות שלושת רבעי השעה?.9 0. ההוצאה החודשית לבית אב בעיר "טרירה" מתפלגת appleורמלית עם ממוצע של 000

10 0 דולר וסטית תקן של 300 דולר. בחרו באקראי 5 בתי אב. ההסתברות שלפחות אחד מהם מוציא בחודש מעל ל- T דולר היא א. ב. ג. מה ערכו של T? מה הסיכוי שההוצאה החודשית של בית אב בעיר תהיה לפחות סטיית תקן אחת מעל T? מסתבר שappleפלה טעות בappleתוappleים, ויש להוסיף 00 דולר להוצאות החודשית של כל בתי האב בעיר. לאור זאת, מה ההסתברות שההוצאה החודשית של בית אב appleמוכה מ- 800 דולר? אורך שיר אקראי המשודר ברדיו מתפלג appleורמלית עם תוחלת של 3.5 דקות וסטיית תקן של שלושים שappleיות. א. מה ההסתברות שאורך של שיר אקראי המappleוגן ברדיו יהיה בין 3 ל.5 דקות? ב. מהו הטווח הבין רבעוappleי של אורך שיר המשודר ברדיו? ג. ביום מסוים מappleוגappleים 00 שירים ברדיו. כמה שירים מתוכם תצפה שיהיו באורך הappleמוך מ 3.5 דקות? ד. בשעה מסוימת שודרו 8 שירים. מה ההסתברות שרבע מהם בדיוק היו ארוכים מ- 4 דקות והיתר לא?. פתרוappleות :

11 שאלה א. 89.5% ב..8% ג. 0 ד. 50% שאלה % א % ב % ג ד. 00% ה. שאלה 5 9. א ב..6 ג ד. שאלה א. 00 ב ג. 733 ד. 67 ה. שאלה 8 א. 3 ב. בממוצע. ג. שאלה א ב ג ד. שאלה 0 95 א ב ג. שאלה א ב. 00 ג. 0.5 ד. פרק - קומביappleציות ליappleאריות להתפלגות appleורמאלית

12 רקע: כל קומביappleציה ליappleארית של משתappleים המתפלגים appleורמאלית מתפלגת appleורמאלית בעצמה. דוגמה: (פתרון בהקלטה) הגובה של גברים במדיappleת ישראל מתפלג appleורמלית עם תוחלת של 75 ס"מ וסטיית תקן של 0 ס"מ, כמו כן הגובה של appleשים במדיappleה מתפלג appleורמלית עם תוחלת של 65 ס"מ וסטיית תקן של 8 ס"מ. מה הסיכוי שגבר אקראי מהמדיappleה יהיה גבוה מאישה אקראית? ) ( 0.783

13 3 תרגילים: המשקל של גברים במדיappleת ישראל ק"ג. כמו כן המשקל של ק"ג. מתפלג appleורמלית עם תוחלת של 75 ק"ג וסטיית תקן של 0 appleשים במדיappleה מתפלג appleורמלית עם תוחלת של 65 ק"ג וסטיית תקן של 8 מה הסיכוי שאישה אקראית תהיה בעלת משקל גבוה יותר מגבר אקראי?. ההוצאה השappleתית על ביגוד לאדם מתפלג appleורמלית עם תוחלת של 3000 וסטיית תקן של. 000 ההוצאה השappleתית על בילויים מתפלגת appleורמלית עם תוחלת של 4000 וסטיית תקן.0.6 של. 500 מקדם המתאם בין ההוצאה השappleתית על ביגוד וההוצאה השappleתית על בילויים היappleו א. מה התוחלת ומהי סטיית התקן של התפלגות ההוצאה השappleתית הכוללת על ביגוד ובילוי? ב. מה הסיכוי שההוצאה השappleתית הכוללת על ביגוד ובילוי תעלה על? 8000 ג. מהו העשירון העליון של ההוצאה השappleתית הכוללת על ביגוד ובילוי?. צריכת הירקות היומית במסעדה מתפלג appleורמלית עם תוחלת של 50 ק"ג וסטיית תקן של 4 ק"ג. appleתון שמחיר ק"ג ירק הוא 6 לקילו. א. מה התוחלת ומהי השוappleות של העלות היומית של ירקות למסעדה? ב. מה ההסתברות שהעלות היומית על ירקות תהיה appleמוכה מ- 90? ג. מהו האחוזון ה- 40 של התפלגות העלות היומית של המסעדה על ירקות?.3 appleפח יין בבקבוק מתפלג appleורמאלית עם תוחלת של 750 מ"ל וסטיית תקן של 0 מ"ל. אדם קappleה מארז של 4 בקבוקי יין. א. מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של appleפח היין במארז. ב. את היין שבמארז האדם מזג לכלי שקיבולתו 3. ליטר. מה ההסתברות שהיין יגלוש מהכלי?.4.5 לדוד משה הייתה חווה. בחווה פרה ועזה. תappleובת החלב של הפרה מתפלג appleורמאלית עם ממוצע של 0 ליטר ביום וסטיית תקן של 5 ליטר ותappleובת החלב של העזה מתפלג גם כן appleורמאלית עם ממוצע של 0 ליטר וסטיית תקן של ליטר. כל ליטר חלב פרה appleימכר ב- וליטר חלב עזה appleימכר ב- 3. א. מה הסיכוי שהפדיון היומי של דוד משה מחלב יהיה לפחות? 6 ב. מה הסיכוי שמתוך תהיה מתחת ל- 30 ליטר? 5 ימים יהיו לפחות 4 ימים בהם תappleובת החלב מהפרה והעזה ביחד ג. מה הסיכוי שביום מסוים תappleובת הפרה תהיה appleמוכה מתappleובת העזה?

14 4 פתרוappleות: שאלה 0.77 שאלה א. תוחלת 7000, סטיית תקן 47. ב ג. 988 שאלה 3 א. תוחלת 300, שוappleות 576. ב ג. 94 שאלה 4 א. תוחלת 3000 מ"ל וסטיית תקן 40 מ"ל. ב

15 5 פרק - 3 התפלגות הדגימה - ממוצע המדגם ומשפט הגבול המרכזי רקע: xi בפרק זה appleדון בהתפלגות של ממוצע המדגם : = x מכיוון שממדגם למדגם אappleו יכולים לקבל ממוצע מדגם שוappleה, אזי ממוצע המדגם הוא משתappleה מקרי ויש לו התפלגות. גדלים המתארים התפלגות כלשהי או אוכלוסייה כלשהי appleקראים פרמטרים. להלן רשימה של פרמטרים החשובים לפרק זה: ממוצע האוכלוסייה appleסמן ב appleקרא ) µ גם תוחלת ). שוappleות אוכלוסייה appleסמן ב-. σ סטיית תקן של אוכלוסייה:. σ א. תכוappleות התפלגות ממוצע כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לממוצע האוכלוסייה: E( x ) = µ = µ x שוappleות כל ממוצעי המדגם האפשריים שווה לשוappleות האוכלוסייה מחולק ב-. תכוappleה זו appleכוappleה רק במדגם מקרי: σ V ( x) = σ = x יש יחס הפוך בין גודל המדגם לבין שוappleות ממוצעי המדגם. אם appleוציא שורש לשוappleות appleקבל סטיית תקן של ממוצע המדגם שappleקראת גם טעות תקן: σ σ ( x) = = σ דוגמה: (פתרון בהקלטה) השכר הממוצע במשק היappleו 9000 עם סטיית תקן של דגמו באקראי 5 עובדים. א. מי אוכלוסיית המחקר? מהו המשתappleה הappleחקר? ב. מהם הפרמטרים של האוכלוסייה? ג. מה התוחלת ומהי סטית התקן של ממוצע המדגם?

16 6 ב. דגימה מהתפלגות appleורמאלית אם appleדגום מתוך אוכלוסייה שהמשתappleה בה מתפלג appleורמאלית עם ממוצע µ ושוappleות המדגם גם יתפלג appleורמאלית: σ x ~ N( µ, ) x µ Z x = σ דוגמה: (פתרון בהקלטה) משקל תיappleוק ביום היוולדו מתפלג appleורמאלית עם ממוצע σממוצע 3400 גרם וסטיית תקן של 400 גרם. מה ההסתברות שבמדגם של 4 תיappleוקות אקראיים בעת הולדתם המשקל הממוצע של התיappleוקות יהיה מתחת ל- 3.5 ק"ג? ג. משפט הגבול המרכזי אם אוכלוסייה מתפלגת כלשהו עם ממוצע µ ושוappleות σ σ ממוצע המדגם מתפלג בקירוב appleורמאלית ), µ. x ~ N( אזי עבור מדגם מספיק גדול ) 30 ( דוגמה: (פתרון בהקלטה) משקל חפיסת שוקולד בקו ייצור מתפלג עם ממוצע 00 גרם וסטיית תקן של 4 גרם. דגמו מקו הייצור 36 חפיסות שוקולד אקראיות. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של חפיסות השוקולד שappleדגמו יהיה מתחת ל 0 גרם? תרגילים :

17 7 מתוך כלל הסטודappleטים במכללה שסיימו סטטיסטיקה א appleדגמו שappleי סטודappleטים. appleתון שממוצע הציוappleים של כלל הסטודappleטים היה 78 עם סטיית תקן של 5. א. מי האוכלוסייה? ב. מה המשתappleה? ג. מהם הפרמטרים? ד. מהו גודל המדגם? ה. מהו תוחלת ממוצע המדגם? ו. מהי טעות התקן?.. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה בישוב מסוים: מספר המשפחות סך הכול מספר מקלטים x להיות מספר המקלטים של appleגדיר את משפחה אקראית. א. בappleו את פוappleקצית ההסתברות של x. ב. חשבו את התוחלת, השוappleות וסטיית התקן של x. ג. אם appleדגום 4 משפחות מהישוב עם החזרה מה תהיה התוחלת, מהי השוappleות ומהי סטיית התקן של ממוצע המדגם? 3. אם appleטיל קובייה פעמיים וappleתבוappleן בממוצע התוצאות שיתקבלו, מה תהיה התוחלת ומה תהיה סטיית התקן של ממוצע זה?

18 8 4. משקל תיappleוק ביום היוולדו מתפלג appleורמאלית עם ממוצע א. מה ההסתברות שתיappleוק אקראי בעת הלידה ישקול פחות מ גרם? 3400 גרם וסטיית תקן של 400 גרם appleתון כי ביום מסוים appleולדו 4 תיappleוקות. ב. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע שלהם יעלה על 4 ק"ג? ג. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התיappleוקות יהיה מתחת ל-.5 ק"ג? ד. מה ההסתברות שהמשקל הממוצע של התיappleוקות יהיה רחוק מהתוחלת בלא יותר מ- 50 גרם? ה. הסבירו ללא חישוב כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתappleה אם היה מדובר על יותר מ- 4 תיappleוקות? 5. הגובה של המתגייסים לצה"ל מתפלג appleורמאלית עם תוחלת של 75 ס"מ וסטיית תקן של 0 ס"מ. ביום מסוים התגייסו 6 חיילים. א. מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יהיה לפחות 90 ס"מ? ב. מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יהיה בדיוק 80 ס"מ? ג. מה ההסתברות שהגובה הממוצע שלהם יסטה מתחולת הגבהים בפחות מ- 5 ס"מ? ד. מהו הגובה שבהסתברות של 90% הגובה הממוצע של המדגם יהיה appleמוך ממappleו? 6. הזמן הממוצע שלוקח לאדם להגיע לעבודתו 30 דקות עם שוappleות של 6 דקות רבועות. האדם appleוסע לעבודה במשך שבוע 5 פעמים. לצורך פתרון הappleיחו שזמן הappleסיעה לעבודה מתפלג appleורמאלית. א. מה ההסתברות שבמשך שבוע משך הappleסיעה הממוצע יהיה מעל 33 דקות? ב. מהו הזמן שבהסתברות של 90% ממוצע משך הappleסיעה השבועי יהיה גבוה ממappleו? ג. מה ההסתברות שממוצע משך הappleסיעה השבועי יהיה מרוחק מ- 30 דקות בלפחות דקות? ד. כיצד התשובה לסעיף הקודם הייתה משתappleה אם האדם היה appleוסע לעבודה 6 פעמים בשבוע? 7. appleפח היין בבקבוק מתפלג appleורמאלית עם תוחלת של 750 סמ"ק וסטיית תקן של 0 סמ"ק. א. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהappleפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה בדיוק 755 סמ"ק? ב. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהappleפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה יותר מ 755 סמ"ק? ג. בארגז 4 בקבוקי יין. מה ההסתברות שהappleפח הממוצע של הבקבוקים בארגז יהיה לפחות 755 סמ"ק? ד. בקבוקיי היין שבארגז appleמזגים לקערה עם קיבולת של שלושה ליטר. מה ההסתברות שהיין יגלוש מהקערה?

19 9 8. משתappleה מתפלג appleורמאלית עם תוחלת 80 וסטיית תקן. 4 א. מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה כאשר גודל המדגם הוא 9? ב. מה ההסתברות שממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בלא יותר מיחידה שגודל המדגם הוא 6? ג. הסבר את ההבדל בתשובות של שappleי הסעיפים. 9. בקזיappleו ישappleה רולטה. על הרולטה רשומים המס' הבאים כמוראה בשרטוט: אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה. א. בappleו את פוappleקצית ההסתברות של סכום הזכייה במשחק בודד. ב. מה התוחלת ומה השוappleות של סכום הזכייה? ג. אם האדם ישחק את המשחק 5 פעמים מה התוחלת ומה השוappleות של ממוצע סכום הזכייה בחמשת המשחקים? ד. אם האדם משחק את המשחק 50 פעם מה ההסתברות שבסה"כ יזכה ב- 050 ומעלה? 0. לפי הערכות הלשכה המרכזית לסטטיסטיקה השכר הממוצע במשק הוא 8000 עם סטיית תקן של מה ההסתברות שבמדגם מקרי של 00 עובדים השכר הממוצע יהיה יותר מ-? מטילים קובייה 50 פעמים בכל פעם מתבוappleappleים בתוצאה של הקובייה. מה ההסתברות שהממוצע של התוצאות יהיה לפחות 3.7 ב- 50 ההטלות?. אורך ציappleור שמפעל מייצר היappleו עם ממוצע של 70 ס"מ וסטיית תקן של 0 ס"מ. א. appleלקחו באקראי 00 מוטות, מה ההסתברות שממוצע אורך המוטות יהיה בין 68 ל 78 ס"מ? ב. יש לחבר בappleייappleים באמצעות מוטות. המרחק בין שappleי הבappleייappleים היappleו 700 ס"מ. מה ההסתברות ש 00 המוטות יספיקו למלאכה? ג. מה צריך להיות גודל המדגם המיappleימאלי, כדי שבהסתברות של 5% ממוצע המדגם יהיה קטן מ- 69 ס"מ. העזר במשפט הגבול המרכזי. 3. appleתון משתappleה מקרי בדיד בעל פוappleקצית ההסתברות הבאה: X ¼ ¼ ¼ ¼ P(X) מתוך התפלגות זו appleלקח מדגם מקרי בגודל. 50 מה הסיכוי שממוצע המדגם יהיה קטן מ- 5?

20 0 _ X 4. appleתון ש X דגמו 5 תצפיות מאותה התפלגות והתבוappleappleו בממוצע המדגם : (, ) N µ σ לכן ) µ P( X > יהיה : ) בחר בתשובה הappleכוappleה ( _ א. 0 ב. 0.5 ג. ד. לא appleיתן לדעת.. σ ושוappleות µ : מתפלג כלשהו עם תוחלת X ש appleתון 5. החליטו לבצע מדגם בגודל 00 מתוך ההפלגות הappleתוappleה לפי משפט הגבול המרכזי מתקיים ש: (בחר בתשובה הappleכוappleה ( X σ N ( µ, ) 00 א. σ N(, ) 00 ב. µ µ _ X (, ) ג. N µ σ X σ N ( µ, ) 00 ד. אזי : X Xi = i= N ( µ, σ ) ש appleתון.6. X אם appleדגום תצפיות מתוך ההתפלגות וappleגדיר (בחר בתשובה הappleכוappleה) א. µ ו- X יהיו משתappleים מקריים. ב. µיהיה משתappleה מקרי ו X קבוע. ג. X ד. µ יהיה משתappleה מקרי ו µ קבוע. יהיו קבועים. ו X

21 7. משקל חפיסת שוקולד בקו ייצור מתפלג עם ממוצע 00 גרם. החפיסות appleארזות בקרטון המכיל 36 חפיסות שוקולד אקראיות. ההסתברות שהמשקל הממוצע של חפיסות השוקולד בקרטון יהיה מעל 99 גרם הוא א. מהי סטיית התקן של משקל חפיסת שוקולד בודדת? ב. מה הסיכוי שמתוך 4 קרטוappleים בדיוק קרטון אחד יהיה עם משקל ממוצע לחפיסה הappleמוך מ- 00 גרם? 8. משתappleה מקרי כלשהו מתפלג עם סטיית תקן של 0. מה הסיכוי שאם appleדגום 00 תצפיות בלתי תלויות מאותה התפלגות אזי ממוצע המדגם יסטה מתוחלתו בפחות מ-? 9. מספר המכוappleיות הappleכappleסות לחappleיון "בציר " במשך היום מתפלג פואסוappleית עם קצב של מכוappleית אחת לדקה. שומר מסר appleתוappleים על מספר המכוappleיות שappleכappleסות בכל שעה לגבי 40 שעות שאסף appleתוappleים. מה ההסתברות שממוצע מספר המכוappleיות שappleכappleסו לחappleיון לשעה בשעות אלה יהיה לפחות 63? 0. הוכיחו שאם משתappleה מתפלג כלשהו עם תוחלת µ ושוappleות σ ומבצעים מדגם בגודל של תצפיות בלתי תלויות מהמשתappleה, אזי מתקיימות התכוappleות הבאות לגבי ממוצע המדגם: E( x ) = µ V ( x) σ =

22 פתרוappleות: X שאלה א P(x) µ =.05 σ = σ = µ =.05σ = X X ב. ג. σ ( X ) = שאלה 3 µ = 3.5 X σ ( X ) =. שאלה א. ב. ג. ד. שאלה 6 א ב. 7.7 ג שאלה א. ב. ג. ד.

23 3 שאלה א. ב שאלה 9 א P(x) ב. התוחלת:.5 השוappleות: ג. התוחלת:.5 השוappleות: 3.75 ד שאלה שאלה 0.84 שאלה א ב ג. 7 שאלה 4 התשובה ב שאלה 5 התשובה ד שאלה 6 התשובה ג שאלה 7 א..49 ב. 0.5

24 4 רקע: פרק - 4 התפלגות הדגימה- התפלגות סכום תצפיות המדגם ומשפט הגבול המרכזי T = i= X i כעת appleדון בסטטיסטי המבטא את סכום התצפיות במדגם כאשר כל התצפיות appleדגמו באקראי מאותה אוכלוסייה. כלומר, היו ושוappleותה - משתappleים מקריים בלתי תלויים בעלי התפלגות זהה שתוחלתה µ X,..., X σ אזי: א. התוחלת והשוappleות של סכום התצפיות: E( T ) = µ V ( T ) = σ ב. דגימה מתוך התפלגות appleורמלית: T N ~ ( µ, σ ) T µ Z = σ X ~ (, ) אם N µ σ אזי ג. משפט הגבול המרכזי : E( X ) = µ V ( X ) = σ אם x מתפלג כלשהו וידוע אזי עבור מדגם מספיק גדול 30) (לפחות ~ ( µ, σ ) T N דוגמה: ) פתרון בהקלטה) בעיר מסוימת המשכורת הממוצעת של עובד היappleה עם סטיית תקן של. 000 appleדגמו 00 עובדים מהעיר שמפקידים את משכורותיהם לסappleיף בappleק. א. מה התוחלת וסטיית התקן של סך המשכורות שיופקדו לסappleיף הבappleק על ידי העובדים הללו? ב. מה ההסתברות שלסappleיף יופקד פחות מ- 780 אלף ע"י אותם עובדים? ) ( 0.587

25 5 תרגילים: המשקל באוכלוסייה מסוימת מתפלג appleורמאלית עם תוחלת של 60 ק"ג וסטיית תקן של 0 ק"ג. א. מה הסיכוי שאדם אקראי מהאוכלוסייה ישקול מתחת ל- 65 ק"ג? ב. מה הסיכוי שהמשקל הממוצע של 4 אappleשים אקראיים יהיה מתחת ל- 65 ק"ג? ג. מה הסיכוי שהמשקל הכולל של 4 אappleשים אקראיים יהיה מתחת ל- 40 ק"ג?. appleפח יין בבקבוק מתפלג appleורמאלית עם תוחלת של 750 מ"ל וסטיית תקן של 0 מ"ל. אדם קappleה מארז של 4 בקבוקי יין. א. מהי התוחלת ומהי סטיית התקן של appleפח היין במארז? ב. את היין שבמארז האדם מזג לכלי שקיבולתו 3. ליטר. מה ההסתברות שהיין יגלוש מהכלי? ג. אם לא היה appleתון שappleפח היין מתפלג appleורמאלית. האם התשובה לסעיף א הייתה משתappleה? האם התשובה לסעיף ב הייתה משתappleה?. בספר כלשהו 500 עמודים. קצב הקריאה הממוצע הוא עמוד אחד ב 4 דקות עם סטיית תקן של דקות. א. מה ההסתברות לסיים את הפרק הראשון (40 עמודים) תוך שעתיים וחצי? ב. מהו האחוזון ה- 95 לזמן סיום קריאת הספר? במגדל appleבappleו 40 יחידות דיור. כמו כן appleבappleו 35 מקומות חappleייה לבappleיין. להלן פוappleקצית ההסתברות של מספר המכוappleיות ליחידת דיור: x ( X x) P = appleappleיח שמספר המכוappleיות ליחידת דיור בלתי תליות זו בזו ועם אותה פוappleקצית הסתברות לכל יחידת דיור ) אין צורך בתיקון רציפות). א. מהי ההסתברות שיהיה מקום בחappleיון המגדל לכל מכוappleיות הבappleיין? ב. בהיappleתן ויש מקום במגדל לכל המכוappleיות, מה הסיכוי שבפועל מספר המכוappleיות appleמוך מ-?30

26 6 5. בקזיappleו ישappleה רולטה עליה מסומappleים המספרים הבאים: אדם מסובב את הרולטה וזוכה בסכום הרשום על הרולטה. א. אם האדם משחק את המשחק 50 פעמים מה ההסתברות שבסך הכול יזכה בסכום של 050 שקלים ומעלה? ב. האדם מגיע בכל יום לקזיappleו ומשחק את המשחק 50 פעם עד אשר מגיע היום בו הוא יזכה ב- 050 שקלים ומעלה. מה התוחלת ומהי השוappleות של מספר הימים שיבלה בקזיappleו?,i =, כאשר...00 Xi exp( λ = ) ש appleתון. P( Xi חשבו את הסיכוי (5 i.6

27 7 פתרוappleות: שאלה א ב ג. 0.5 שאלה א. תוחלת 3000 מ"ל וסטיית תקן 40 מ"ל ב שאלה 4 א שאלה 5 א ב. תוחלת :. שוappleות 0.39

28 8 פרק 5- סטטיסטיקה תיאורית - סיווג משתappleים וסולמות מדידה שימו לב: החלוקה בין סולם רווחים לסולם מappleה לא appleלמדת אצלכם וappleקראת ביחד משתappleה כמותי. רקע: סטטיסטיקה תיאורית הוא עappleף בו לומדים כיצד לאסוף appleתוappleים, להציג אותם ולappleתח אותם. בסטטיסטיקה תיאורית אappleו פוappleים לקבוצה מסוימת. באותה קבוצה אappleו אוספים appleתוappleים על הישויות באותה קבוצה. משתappleה תכוappleה שיכולה לקבל מספר ערכים : דעה פוליטית, מקום מגורים, גובה של אדם וכדומה. חלוקה אחת של המשתappleים הappleמדדים היא לפי סולמות מדידה: מיון משתappleים לפי סולמות המדידה:. סולם שמי ( appleומיappleאלי) משתappleה שלערכיו יש משמעות רק מבחיappleת הזהות ואין עappleיין של יותר או פחות לדוגמה: מצב משפחתי רווק/ appleשוי/אלמן/גרוש; אזור מגורים. משתappleה דיכוטומי ) היappleו מסולם שמי) אותם משתappleים שיש להם רק שappleי ערכים אפשריות זכר/ appleקבה. מעשן/לא מעשן. סולם סדר (אורדיappleאלי) כאשר לערכים של המשתappleה בappleוסף לשם ישappleה גם משמעות לסדר אבל אין משמעות לגודל ההפרש. למשל,דרגה בצבא.. סולם רווחים (איappleטרוולי) משתappleה שלערכים שלו בappleוסף לשם ולסדר בappleיהם יש משמעות לרווחים בין הערכים אבל אין משמעות ליחס בין הערכים. למשל, קומה בבappleיין. סולם לא כל כך פופולרי..3 סולם מappleה/יחס משתappleה שלערכיו בappleוסף לשם, לסדר ולרווח יש משמעות גם ליחס בין הערכים. למשל, מספר מכוappleיות למשפחה, משקל אדם בק"ג. הדרך הקלה ביותר כדי לזהות עם הסולם הוא סולם מappleה היא על ידי מבחן האפס. בסולם מappleה האפס הוא מוחלט, אבסולוטי, ומייצג אין..4

29 9 appleבצע סיווג של המשתappleים : סוגי משתappleים: משתappleה איכותי הוא משתappleה שלערכיו אין משמעות של יותר או פחות, אין עappleיין כמותי לערכים המתקבלים. כמו : מקום מגורים של אדם (רעappleappleה, תל אביב, אשדוד..) מין האדם (זכר, appleקבה) מצב משפחתי ) רווק, appleשוי, גרוש,אלמן) משתappleה כמותי הוא משתappleה שערכיו הם מספרים להם יש משמעות כמותית כמו : גובה אדם בס"מ, ציון בבחיappleה וכדומה. את המשתappleה הכמותי appleסווג לשappleי סוגים: משתappleה בדיד : משתappleה שערכיו מתקבלים מתוך סידרה של ערכים אפשריים.כמו: מספר ילדים למשפחה (,,3..) ציון בבחיappleה ) מ 0 ועד 00 בקפיצות של ( משתappleה רציף: משתappleה שערכיו מתקבלים מתוך איappleסוף ערכים בתחום מסוים, הערכים מתקבלים ברצף וללא קפיצות של ערכים. כמו: גובה בס"מ אם למשל, הגובה הappleמוך ביותר הוא 50 ועד 90 ס"מ בקבוצה הגבהים הם ברצף. גם בין 60 ל 6 ס"מ יש רצף איappleסופי של ערכים אפשריים לגובה (6.33 ס"מ הוא גם גובה אפשרי ( משקל בק"ג, מהירות בקמ"ש וכולי. כמותי איכותי רציף בדיד

30 30 תרגילים: לפappleיכם רשימה של משתappleים: א. ב. ג. ד. ה. ו. ז. ח. ט. גובה אדם בס"מ. מספר ילדים למשפחה. מידת חרדה לפappleי מבחן. שביעות רצון משירות לקוחות בסקלה מ עד השכלה. מספר אוטובוס. מקום מגורים. מין ( =גבר ו- =אישה). מידת appleעליים. ) 7 כלל לא מרוצה עד 7 מרוצה מאד). צייappleו באיזה סולם מדידה המשתappleה הappleחקר ) שמי, סדר, רווחים או מappleה) להלן התפלגות מספר האיחורים לעבודה בחודש של העובדים בחברת "סטאר". בחברה 00 עובדים. מספר האיחורים מספר העובדים א. ב. מהו המשתappleה הappleחקר כאן? האם מדובר במשתappleה איכותי או כמותי? אם הוא כמותי האם הוא בדיד או רציף? באיזה סולם מדידה המשתappleה? 3. לפappleיכם רשימה של משתappleים כמותיים. ציין ליד כל משתappleה אם הוא רציף או בדיד. שכר עובד בש"ח. א. ציון בחיappleת בגרות. ב. תוצאה בהטלת קובייה. ג. מהירות ריצה בתחרות. ד. שיעור התמיכה בממשלה. ה.

31 3 פרק - 6 סטטיסטיקה תיאורית - הצגה של appleתוappleים רקע: דרכים להצגת appleתוappleים שappleאספו: א. רשימה של תצפיות: התצפית היא הערך שappleצפה עבור ישות מסוימת בקבוצה. רושמים את התצפיות שהתקבלו כרשומה, יעיל שיש מספר מועט של תצפיות. ההצגה הזו רלבappleטית לכל סוגי המשתappleים. למשל, להלן מספר החדרים בבappleיין בן 5 דירות : ב. טבלת שכיחויות בדידה: שםהמשתנה - X שכיחות שכיחות יחסית באחוזים f (X ) f 00 N f X f 00 N f X f 3 00 N f 3 X 3 f k N 00 f k X k 00% N = k f i i= סה"כ רושמים את התצפיות בטבלה שבה עמודה אחת מבטאת את ערכי המשתappleה והשappleייה את השכיחות. יעיל עבור משתappleה איכותי וכמותי בדיד וכשיש מספר רב של תצפיות. לא יעיל למשתappleה כמותי רציף.

32 3 למשל, להלן התפלגות הציוappleים בכיתה מסוימת: f i F i הציון -X מספר התלמידים השכיחות- f 0.08=/ =4/ =8/ =5/ =4/ =/5 5 0 F i שכיחות מצטברת צבירה של השכיחויות: או שוות לערך. - השכיחות המצטברת appleותappleת כמה תצפיות קטappleות f i שכיחות יחסית (פרופורציה) השכיחות מחולקת לכמות התצפיות הכללי : מהתצפיות בקבוצה שוות לערך. - איזה חלק ג. טבלת שכיחויות במחלקות: משתמשים שהמשתappleה כמותי רציף או כאשר יש מספר ערכים רב במשתappleה הבדיד וטבלת שכיחויות תהיה ארוכה מידי. למשל, appleתappleו לקבוצת ילדים לבצע משימה מסוימת ובדקו את התפלגות זמן ביצוע המשימה בדקות. להלן ההתפלגות שהתקבלה: זמן בדקות מספר הילדים

33 33 ד. דיאגרמת עוגה: זהו התיאור הגרפי של משתappleה איכותי. בדיאגראמת עוגה כל ערך במשתappleה מקבל " appleתח" יחסי מהעוגה. הappleתח בעוגה פרופורציוappleי לשכיחות היחסית של ערך המשתappleה בappleתוappleים. התפלגות המצב המשפחתי אלמן 0% רווק 0% גרוש 5% נשוי 45% ה. דיאגרמת מקלות: הציר האופקי הוא הציר של המשתappleה הציר האappleכי של השכיחות הגובה של המקל מעיד על השכיחות. רלבappleטי למשתappleה כמותי בדיד. לא appleהוג להשתמש בתיאור למשתappleה איכותי וכמו כן לא למשתappleה כמותי רציף. כמו כן בסולמות מדידה עבור משתappleה מסולם סדר. התפלגות הציונים מספר התלמידים - f הציון

34 34 ו. היסטוגרמה: ההיסטוגרמה היא הדרך הגרפית כדי לתאר טבלת שכיחויות במחלקות. רלבappleטית למשתappleה כמותי רציף. בהיסטוגרמה ציר האופקי הוא הציר של המשתappleה וציר האappleכי הוא הציר של הצפיפות. הצפיפות מחושבת בכל מחלקה על ידי חלוקת השכיחות ברוחב של כל המחלקה והיא appleותappleת את מספר התצפיות הממוצע בכל מחלקה ליחדה. אם המחלקות הן שוות ברוחב, appleיתן לשרטט את ההיסטוגרמה לפי השכיחות ואין צורך בצפיפות. אמצע רוחב שכיחות מצטברת צפיפות X פוליגון- מצולעון: אם appleחבר את אמצע קצה כל מלבן בקווים ישרים. appleותן מראה חזותי לצורה של התפלגות המשתappleה.

35 35 צורות התפלגות appleפוצות התפלגות סימטרית פעמוappleית- רוב התצפיות במרכז וככל שappleתרחק מהמרכז יהיו פחות תצפיות באופן סימטרי. למשל,ציוappleי.IQ ישappleן התפלגויות סימטריות שאיappleן פעמוappleיות: התפלגות אסימטרית ימappleית ) חיובית) רוב התצפיות מקבלות ערכים appleמוכים ויש מיעוט הולך וקטן של תצפיות שמקבלות ערכים גבוהים קיצוappleיים. למשל,שכר במשק. התפלגות א-סימטרית ימנית או חיובית Mo Md X התפלגות אסימטרית שמאלית ) שלילית) רוב התצפיות מקבלות ערכים גבוהים ויש מיעוט הולך וקטן של תצפיות שמקבלות ערכים appleמוכים קיצוappleיים. למשל, אורך חיים. התפלגות א-סימטרית שמאלית או שלילית X Md Mo תרגילים:

36 36. בסקר צפייה בטלוויזיה התקבלו התוצאות הבאות: 5 צפו בערוץ הראשון, 5 צפו בערוץ 0, 75 צפו בערוץ השappleי, ב. 50 צפו באחד מערוצי הכבלים ו - 5 לא צפו בטלוויזיה בזמן הסקר. א. רשמו את טבלת השכיחות ואת השכיחות היחסית. תארו את הappleתוappleים באופן גרפי.. להלן appleתוappleים על התפלגות המקצוע המועדף של תלמידי שכבה ו' בבית הספר "מעוף": מספר התלמידים המקצוע מתמטיקה תapple "ך אappleגלית היסטוריה א. מהו המשתappleה הappleחקר? ב. מהי פרופורציית התלמידים שמעדיפים תapple "ך? להלן התפלגות ההשכלה במקום עבודה מסוים: השכלה מספר העובדים appleמוכה 60 תיכוappleית 0 אקדמאית 0.3 א. מהו המשתappleה הappleחקר? מאיזה סולם הוא? ב. תארו את הappleתוappleים באופן גרפי. 4. להלן רשימת הציוappleים של 0 תלמידים שappleבחappleו במבחן הבappleת הappleקרא: 7,6,8,9,0,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6 א. מהו המשתappleה? האם הוא בדיד או רציף? ב. תאר את הרשימה בטבלת שכיחויות. ג. הוסף שכיחויות יחסיות לטבלה. ד. תאר את הappleתוappleים באופן גרפי. 5. להלן היסטוגרמה המתארת את התפלגות הגבהים בס"מ של קבוצה מסוימת: צפיפות

37 37 3 גובה א. מהו המשתappleה הappleחקר? האם הוא בדיד או רציף? ב. תאר את הappleתוappleים בטבלת שכיחויות במחלקות. ג. הוסף שכיחות יחסית לטבלה. ד. הוסף את הצפיפות של כל מחלקה לטבלה. ה. מהי צורת ההתפלגות של הגבהים? 6. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: משקל מספר מקרים א. תאר את ההתפלגות באופן גרפי. ב. מה appleיתן להגיד על צורת ההתפלגות?

38 38 7. להלן גיל המטופלים של ד"ר שוורץ בשappleים : קappleה מידה: 8 מטופלים= גיל המטופל א. ב. ג. ד. מה המשתappleה הappleחקר? האם הוא בדיד או רציף? מהי הקבוצה הappleחקרת? תרגמו את ההסיטוגרמה לטבלת שכיחות. מהי הפרופורציה של המטופלים של ד"ר שוורץ בגילאים 0-30? פרק - 7 סטטיסטיקה תיאורית- מדדי מיקום מרכזי

39 39 רקע: המטרה במדדי המיקום המרכזי למדוד את מרכז ההתפלגות של התצפיות. השכיח MODE השכיח הוא הערך הappleפוץ ביותר בהתפלגות. ברשימה : הערך החוזר על עצמו הכי הרבה פעמים. בטבלת שכיחויות בדידה : הערך שהשכיחות שלו היא הגבוהה ביותר. בדיאגרמת מקלות : שיעור ה- X של המקל הגבוה ביותר. בעוגה: הערך של הפלח הגדול ביותר. בטבלת שכיחויות במחלקות: המחלקה עם הצפיפות הגבוהה ביותר. בהיסטוגרמה המחלקה הגבוהה ביותר. יתכן שלהתפלגות יותר משכיח אחד. השכיח הוא מדד הרלבappleטי לכל סוגי המשתappleים. החציון MEDIAN החציון הוא ערך שמחצית מהתצפיות קטappleות או שוות לו ומחצית מהתצפיות גדולות או שוות לו. ברשימה : appleסדר את התצפיות בסדר עולה. אם יש מספר אי זוגי של איברים מקומו של החציון יהיה התצפית שמיקומה : אם יש מספר זוגי של איברים החציון יהיה הממוצע של האיבר ה- כלומר שיש מספר אי-זוגי של תצפיות החציון יהיה : ושיש מספר זוגי של תצפיות החציון יהיה : + md = X + X md = + X + בטבלת שכיחויות בדידה: appleעשה תהליך דומה אך appleעזר בשכיחות המצטברת. בטבלת שכיחויות במחלקות: המחלקה החציוappleית היא המחלקה שמיקומה החציון איappleו רלבappleטי למשתappleה מסולם שמי ולא רלבappleטי למשתappleה איכותי. והאיבר ה- +

40 40 הממוצע: הappleו מרכז הכובד של ההתפלגות. x = i= x i ברשימה : בטבלת שכיחויות : x = x f במחלקות : appleשתמש באותה appleוסחה רק appleתייחס לאמצע המחלקה בתור ה X. הממוצע הזה יהיה ממוצע מקורב ולא אמיתי. הממוצע רלבappleטי רק למשתappleה כמותי. מדדי המיקום המרכזי בהתפלגויות המיוחדות: בהתפלגות סימטרית פעמוappleית כל מדדי המרכז שווים זה לזה: התפלגות סימטרית x Md Mo בהתפלגות סימטרית השכיח לא חייב להיות במרכז: התפלגותU Mo X Mo Md בהתפלגות אסימטרית התפלגות א-סימטרית ימנית או חיובית התפלגות א-סימטרית שמאלית או שלילית X Md Mo Mo Md X תרגילים:

41 4 להלן רשימת הציוappleים של 0 תלמידים שappleבחappleו במבחן הבappleת הappleקרא: 7,6,8,9,0,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6 חשב את החציון, השכיח, והממוצע של הציוappleים... בדקו את מספר החדרים לדירה בבappleיין בן 5 דירות והתקבל ממוצע 3.8 לגבי 4 דירות appleמצא מספר חדרים : 5, 3, 4, א. ב.. 4 כמה חדרים יש בדירה החמישית? מהו השכיח ומהו החציון? 3. להלן התפלגות מספר מקלטי הטלוויזיה שappleספרו עבור כל משפחה בישוב מסוים: מספר משפחות מספר מקלטים חשב את הממוצע, החציון והשכיח של ההתפלגות. א. הסבר ללא חישוב כיצד כל מדד שחישבת בסעיף א' היה משתappleה אם חלק מהמשפחות (לא ב. כולן) שלא היה להם עד היום טלוויזיה היו רוכשים מקלט אחד. 4. להלן התפלגות מספר המכוappleיות למשפחה בישוב "הגורן" מספר מכוappleיות למשפחה שכיחות 65 א. ב. ג. כמה משפחות יש בישוב? מה אחוז המשפחות בישוב עם לכל היותר מכוappleיות? חשבו את הממוצע, החציון והשכיח. הקפידו להסביר לגבי כל סעיף מה משמעות התוצאה שקיבלתם! 5. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג:

42 4 מספר מקרים משקל א. מהי המחלקה השכיחה והחציוappleית. ב. חשב אומדן לממוצע. ג. האם היה appleיתן לדעת מהי התשובה לסעיף ב ללא חישוב? הסבר

43 43 פתרוappleות: שאלה : החציון: 7 השכיח: 6 הממוצע: 6.9 שאלה : א. 3 ב. שכיח: 3,4 חציון: 4 שאלה 3: א. הממוצע:.7 החציון:.5 השכיח: ב. הממוצע יגדל ויתר המדדים לא ישתappleו. שאלה 4: א. 630 ב. 34.3% ג. שכיח וחציון :3 ממוצע:.95

44 44 פרק 8- סטטיסטיקה תיאורית רקע: - מדדי פיזור: הטווח, השוappleות וסטיית התקן המטרה : למדוד את הפיזור של הappleתוappleים כלומר כמה הם רחוקים זה מזה ושוappleים זה מזה. R= X X max mi הטווח\תחום :RANGE ההפרש בין התצפית הגבוהה ביותר לappleמוכה ביותר : שוappleות וסטיית תקן: השוappleות היא ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע וסטיית התקן היא שורש של השוappleות. s ( xi x) xi i= i= sx עבור סדרת appleתוappleים: x = = דוגמה : appleחשב את השוappleות של סדרת המספרים הבאה : 5,4,9 ( x x) f x f = = x עבור טבלת שכיחויות: להלן התפלגות הציוappleים בכיתה מסוימת בה ממוצע הציוappleים הוא 7.44 x s x 430 f השכיחות- f x f ( x) x x x x הציון -X סה"כ 430 = = 7.44 = s= s =.8464 =.3588 כשיש מחלקות appleעזר באמצע המחלקה כדי לחשב את השוappleות.

45 45 תרגילים:. להלן רשימת הציוappleים של 0 תלמידים שappleבחappleו במבחן הבappleת הappleקרא: 7,6,8,9,0,6,4,5,8,7,6,7,6,8,9,6,7,8,5,6 חשבו את השוappleות, סטיית התקן והטווח של הציוappleים.. להלן התפלגות מספר המכוappleיות למשפחה בישוב "הגורן" מספר מכוappleיות למשפחה שכיחות 65 א. חשבו סטיית התקן. ב. חשבו את הטווח של הappleתוappleים. הקפידו להסביר לגבי כל סעיף מה משמעות התוצאה שקיבלתם! בחברה העוסקת בטלמרקטיappleג בדקו עבור כל עובד את מספר שappleות הוותק שלו. התקבל שממוצע שappleות הוותק הוא 4 שappleים וסטיית התקן היא שappleתיים. א. האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתappleה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשappleה כאשר יתווספו שappleי עובדים עם וותק של 4 שappleים להתפלגות?.3 ב. האם הממוצע יגדל/יקטן/לא ישתappleה וסטיית התקן תגדל/תקטן/לא תשappleה כאשר יתווספו שappleי עובדים אשר אחד עם וותק של 0 שappleים והשappleי עם וותק של 8 שappleים להתפלגות? 4. appleתוappleה רשימה של 5 תצפיות, אך רק עבור 4 מהן appleרשמו הסטיות שלהן מהממוצע: -, 3,,. חשב את השוappleות של חמש התצפיות.

46 46 5. בשכוappleה בדקו בכל דירה את מספר החדרים לדירה. בשכוappleה 00 דירות. פרופורציה מספר חדרים א. ב. ג. מה הממוצע של מספר החדרים לשכוappleה בדירה? חשבו את סטיית התקן של מספר החדרים לדירה. חלק מבעלי הדירות בappleות החדרים הפכו את דירתם לדירת חדר. כיצד הדבר ישפיע (יקטין, יגדל, לא ישappleה) כל מדד שחישבתם בסעיפים הקודמים. 6. להלן התפלגות המשקל של קבוצה מסוימת בק"ג: מספר מקרים משקל מהי סטיית התקן של התפלגות המשקל?

47 47 7. להלן התפלגות הציוappleים במבחן איappleטליגappleציה: = appleבחappleים X הציון א. ב. ג. מה הממוצע ומה החציון של ההתפלגות? חשבו את סטיית התקן של הציוappleים. מסתבר שיש להוסיף 0 תצפיות לכל אחת משתי המחלקות ו כיצד הדבר ישתappleה את כל אחד מהמדדים של הסעיפים הקודמים?

48 48 פתרוappleות : שאלה : השוappleות :.9 סטיית תקן :.48 טווח : 6 שאלה : א. סטיית תקן :.06 ב. טווח 4 שאלה 3: א. ממוצע לא ישתappleה, סטיית התקן תקטן. ב. ממוצע לא ישתappleה, סטיית התקן תגדל. שאלה 4: 0.8 שאלה 5: 3.05 א. ב..6 שאלה 6: 7.73 שאלה : 7 00 א. ב..96

49 49 פרק 9- סטטיסטיקה תיאורית - מדדי מיקום יחסי - ציון תקן רקע: המטרה למדוד איך תצפית ממוקמות יחסית לשאר התצפיות בהתפלגות. ציון תקן: X Z = S X הappleוסחה לציון תקן של תצפית היא : ציון התקן appleותן כמה סטיות תקן סוטה התצפית מהממוצע. כלומר, ציון התקן מעיד על כמה סטיות תקן התצפית מעל או מתחת לממוצע. ציון תקן חיובי אומר שהתצפית מעל הממוצע. ציון תקן שלילי אומר שהתצפית מתחת לממוצע. ציון תקן אפס אומר שהתצפית בדיוק בממוצע. דוגמה : ) פתרון בהקלטה ( במקום עבודה מסוים ממוצע המשכורות 8 אלפי עם סטית תקן של אלפי באותו מקום עבודה ההשכלה הממוצעת של העובדים הappleה 4 שappleים עם סטית תקן של.5 שappleים. ערן מרוויח במקום עבודה זה אלף והשכלתו 6 שappleים. מה ערן יותר באופן יחסי משכיל או משתכר?

50 50 תרגילים תלמידי כיתה ח' appleיגשו למבחן בלשון ולמבחן במתמטיקה. להלן התוצאות שהתקבלו:. ממוצע המקצוע סטיית תקן לשון מתמטיקה עודד קיבל: 68 בלשון ו 70 במתמטיקה. א. באיזה מקצוע עודד טוב יותר באופן יחסי לשכבה שלו? ב. איזה ציון עודד צריך לקבל במתמטיקה כדי שיהיה שקול לציוappleו בלשון? במפעל לייצור מצברים לרכב בדקו במשך 40 ימים את התפוקה היומית ) מספר מצברים במאות) ואת מספר הפועלים שעבדו באותו היום. להלן טבלה המסכמת את האיappleפורמציה שappleאספה על שappleי המשתappleים: ממוצע סטיית תקן תפוקה 48 מספר פועלים 5 0. באחד הימים מתוך כלל הימים שappleבדקו התפוקה הייתה 50 מאות מצברים ובאותו היום עבדו 3 פועלים. מה יותר חריג באותו היום יחסית לשאר הימים שappleבדקו appleתוappleי התפוקה או כמות הפועלים? בחר בתשובה הappleכוappleה. א. התפוקה. ב. כמות הפועלים. ג. חריגים באותה מידה. ד. חסרים appleתוappleים כדי לדעת זאת. א. ב. 3. הגובה הממוצע של המתגייסים לצבא הוא 75 סappleטימטר עם סטיית תקן 0 סappleטימטר. המשקל הממוצע 66 ק"ג עם סטיית תקן 8 ק"ג. ערן התגייס, גובהו 80 ס"מ ומשקלו 59 ק"ג. במה ערן חריג יותר ביחס לשאר המתגייסים- גובהו או משקלו? כמה ערן אמור לשקול כדי שמשקלו יהיה שקול לגובהו?

51 5 פתרוappleות: שאלה : א. לשון ב. 7 שאלה : תשובה ב שאלה 3: א. משקל ב. 70

52 5 רקע: פרק - 0 סטטיסטיקה תיאורית - מדדי מיקום יחסי - אחוזוappleים בטבלת שכיחויות בדידה האחוזון (המאון ( ה- p הוא הערך בappleתוappleים המחלק את הappleתוappleים בצורה כזאת שעד אליו כולל יש % p מהappleתוappleים. מסמappleים את האחוזון ה- בp -.X p חישוב האחוזון מתוך appleתוappleים בטבלת שכיחויות בדידה : האחוזון הוא הערך שבו בפעם הראשוappleה השכיחות היחסית המצטברת (באחוזים) גדולה או שווה ל- %p. דוגמה: (פתרון בהקלטה) בסappleיף בappleק 50 לקוחות. ספרו לכל לקוח את מספר תכappleיות החיסכון שלו: # תכappleיות החיסכון f(x) שכיחות מצטברת שכיחות יחסית מצטברת מצא את האחוזון ה- 5. מצא את הערך ש- 0% מהמקרים מעליו.

53 53 תרגילים:. להלן התפלגות של משתappleה כלשהו. f(x) X מצא להתפלגות את: האחוזון ה- 60. המאון ה- 40. העשירון העליון. הטווח בין הרבעוappleים.. להלן התפלגות מספר המכוappleיות למשפחה בישוב "הגורן" מספר מכוappleיות למשפחה שכיחות 65 חשבו את: א. העשירון התחתון. ב. האחוזון ה- 30. ג. הערך ש- 0% מהתצפית גדולות ממappleו. ד. רבעון עליון.

54 54 פתרוappleות: 4 4 שאלה א. ב. ג. ד.

55 55 פרק - סטטיסטיקה תיאורית - שאלות מסכמות א. ב. ג. ד.. בדקו עבור 5 תלמידים את המשקל שלהם : מספר תלמיד משקל בק"ג מהו המשתappleה הappleחקר? האם הוא בדיד או רציף? מהו המשקל החציוappleי, הממוצע והשכיח? מה הטווח וסטיית התקן של המשקל? לאותם תלמידים חישבו גם את הגובה בס"מ וקיבלו גובה ממוצע של תלמיד מספר 3 שגובהו 6 יותר חריג במשקל או בגובה? 68 וסטיית תקן 6. במה ה. הוסיפו עוד תלמיד השוקל 5 ק"ג בדיוק. הסבירו ללא חישוב כיצד הדבר ישפיע על הממוצע וסטיית התקן? ) יגדיל יקטין או לא ישappleה). בפקולטה להappleדסה אספה מזכירות הסטודappleטים appleתוappleים לגבי מס' הקורסים שכל סטודappleט סיים בשappleה הראשוappleה ללימודיו בשappleת 008. להלן התוצאות שהתקבלו: מספר הסטודנטים מספר הקורסים א. מה המשתappleה הappleחקר? האם הוא בדיד או רציף? ב. מהי צורת ההתפלגות? ג. תאר את הappleתוappleים בטבלת שכיחויות. ד. חשב את השכיח, החציון והטווח.

56 56 3. להלן התפלגות הציוappleים בבחיappleה בלשון שappleעשתה עבור תלמידי כיתות ד'. השתתפו במחקר 50 תלמידים. ממוצע הציוappleים שהתקבל: 7 = X 5 ציון מספר התלמידים א. השלם את השכיחויות החסרות בטבלה. ב. חשב את הציון החציוappleי, השכיח. ג. חשב שוappleות וסטיית תקן להתפלגות הציוappleים. 4. חברה סלולארית דגמה 00 אappleשים. עבור כל אדם appleבדקה מידת שביעות הרצון של הלקוח מהחברה( שביעות רצון appleמוכה ועד 5 שביעות רצון גבוהה) להלן ההתפלגות שהתקבלה: שביעות רצון מספר האappleשים א. ב. ג..i.ii.iii ד. מה אחוז האappleשים עם רמת שביעות רצון appleמוכה? מה המשתappleה הappleחקר ומאיזה סוג הוא? מהי הדרך הגרפית המתאימה ביותר לתיאור הappleתוappleים? היסטוגרמה. דיאגרמת מקלות. דיאגרמת עוגה חשבו את המדדים הבאים:. טווח. שכיח

57 57 3. חציון. 5 להלן מספר טעappleות, עבור כל טעappleה ציין אם היא appleכוappleה או לא appleכוappleה וappleמקו. ב. ג. ד. ו. ז. א. בסדרה שבה כל התצפיות שוות זו לזו השוappleות היappleה 0. ציון התקן של החציון תמיד יהיה 0. ציון התקן של האחוזון ה- 70 בהתפלגות אסימטרית ימappleית (חיובית) תמיד יהיה חיובי. אם appleוסיף תצפיות לסדרה של תצפיות, הדבר בהכרח יגדיל את הממוצע של הסדרה. ה. בסדרה החציון היappleו 80. הוספו שתי תצפיות אחת 79 ואחת 00 לכן החציון יגדל. אם appleוסיף את הערך 4 לכל התצפיות אז סטיית התקן לא תשתappleה. אם appleחלק את כל התצפיות בהתפלגות ב- אז השוappleות תקטן פי. ח. אם appleגדיל את ממוצע המשכורות של עובדים בחברה אז גם השוappleות תגדל.

58 58 פתרוappleות: שאלה : א. המשתappleה הappleחקר כאן הוא משקל תלמיד בק"ג והוא משתappleה כמותי רציף. ב. X = 5 השכיח הוא 58 ג. Md = X + X = 3 = R= 8 58 s = 0. ד. הוא חריג יותר בגובה כי שם ציון התקן בערך מוחלט יותר גבוה. ה. הממוצע לא ישתappleה אך סטיית התקן תקטן. שאלה : א. מספר הקורסים. בדיד. ב. התפלגות אסימטרית שמאלית ד. השכיח: 5 הטווח: 5 שאלה 3 : א. ג. 0 תלמידים קיבלו ציון 6 ו- 40 תלמידים קיבלו ציון 8. החציון: 7 השכיח: 8 השוappleות:.533 סטיית התקן:.59 שאלה 4: א. 0% ב. שביעות רצון ) סדר) ג. ד. טווח: 4 שכיח: חציון:.5 ה. חציון: 4

59 59 שאלה 5: א. appleכון ב. לא appleכון ג. לא appleכון ד. לא appleכון ה. לא appleכון ו. appleכון ז. לא appleכון ח. לא appleכון

60 60 שאלה באיזו משפחה ההכappleסה החציוappleית שווה להכappleסה הממוצעת? א. משפחה א' ב. ג. ד. משפחה ב' בשתיהן ההכappleסה החציוappleית שווה להכappleסה הממוצעת לא appleיתן לדעת אין מספיק appleתוappleים פרק - סטטיסטיקה תיאורית - שאלות אמריקאיות שאלות -3 מתייחסות לקטע הבא: לפappleיך שתי עקומות המתארות את התפלגות ההכappleסות החודשיות של שתי משפחות שappleבחרו באקראי: משפחה א' משפחה ב' 8000 ש"ח 6000 ש"ח הכנסה חודשית לאיזו משפחה הכappleסה שכיחה גבוהה יותר? א. משפחה א' שאלה ב. ג. ד. משפחה ב' לשתיהן אותה הכappleסה שכיחה לא appleיתן לדעת אין מספיק appleתוappleים שאלה 3 באיזו משפחה סטית התקן של ההכappleסה החודשית גבוהה יותר? א. משפחה א' ב. ג. ד. משפחה ב' לשתיהן אותה סטית תקן לא appleיתן לדעת אין מספיק appleתוappleים

61 6 הappleתוappleים הבאים מתייחסים לשאלות 4-6 להלן appleתוappleים חלקיים של טבלת שכיחויות: f(x) x? ? 4 50 סה"כ 4 כמו כן appleתון הממוצע הוא.66 השכיח של הappleתוappleים הוא: א. 0 שאלה ב. 5 ג. ד. ישappleם שappleי שכיחים: 0 ו- 3 על סמך הappleתוappleים החלקיים אי אפשר לקבוע מה יהיה ערכו של השכיח. שאלה 5 חציון הappleתוappleים הוא: א ב. ג. ד. על סמך הappleתוappleים החלקיים אי אפשר לקבוע מה יהיה ערכו של החציון. שאלה 6 הטווח של הappleתוappleים א. 3 4 ב. ג. ד. על סמך הappleתוappleים החלקיים אי אפשר לקבוע מה יהיה ערכו של החציון.

62 6 שאלה 7 בהתפלגות אסימטרית ימappleית של משתappleה כמותי רציף, הערך המתאים למאון ה- 30, ציון התקן שלו הוא בהכרח: א. שלילי ב. חיובי ג. אפס ד. לא appleיתן לדעת ללא ידיעת הappleתוappleים. שאלה 8 סדרת appleתוappleים סטטיסטיים מוappleה 0 תצפיות. appleתון כי סדרת הappleתוappleים סימטרית סביב הממוצע. ממוצע הסדרה - 40 ושוappleות הסדרה -.00 בשלב מאוחר יותר appleוספו שתי תצפיות appleוספות לסדרה: 50 ו- 30. השוappleות של התצפיות היא: א. תקטן ב. תגדל ג. לא תשתappleה ד. לא appleיתן לחשב את השוappleות ללא ידיעת התצפיות.

63 63 שאלה הוספת גודל קבוע לכל תצפיות סדרת appleתוappleים. א. תגדיל את סטיית התקן. ב. ג. ד. תקטין את סטיית התקן. לא תשappleה את סטיית התקן. לא appleיתן לדעת. הappleתוappleים הבאים מתייחסים לשאלות -4 שם להלן appleתוappleים על ציוappleי תלמידים שappleבחappleו במועדים שוappleים בסטטיסטיקה : התלמיד צבי סטף שרית לובה מיטב ציון 50 ממוצע הציוappleים במועד בו appleבחן 50 סטיית התקן של הציוappleים במועד בו appleבחן שאלה התלמיד הטוב ביותר ביחס לappleבחappleים באותו מועד בו appleבחן הוא : א. מיטב. ב. ג. ד. ה. צבי. לובה. שרית. סטף. שאלה 3 פappleיappleה appleבחappleה עם סטף וציון התקן שלה שווה לציון התקן של שרית לכן ציוappleה הוא : א. ב. ג.

64 64 ד הappleתוappleים הבאים מתייחסים לשאלות 5-8 בבדיקת פתע של משרד הבריאות במפעל שוקולד appleמצא ש: שוקולד פגום מס' קופסאות שאלה 5 מהו החציון של מספר הפגומים בקופסא: א....4 ב. ג. ד. לא appleיתן לדעת שאלה 6 מהו הרבעון התחתון של מספר הפגומים בקופסא? א. ב. 3 4 ג. ד. ה. לא appleיתן לדעת. שאלה 7 מספר הפגומים בקופסא הוא משתappleה: א. סדר. ב. ג. שמי. כמותי בדיד ד. כמותי רציף

65 65 שאלה 8 השכיח של מספר הפגומים בקופסא: א ב. ג. ד. לא appleיתן לדעת. שאלה 9 ביחס לציר המספרים רוב הערכים בהתפלגות א-סימטרית ימappleית appleמצאים: א. בערכים הגבוהים. ב. ג. ד. ה. בחלוקה זהה בין הערכים הגבוהים והappleמוכים. בערכים הappleמוכים. לא appleיתן לדעת. אף לא תשובה מהapple "ל appleכוappleה. שאלה 0 בוצע מחקר על מספר העובדים בחברות מזון לעומת חברות תקשורת. החציון והממוצע בשתיהן שווה 8. איזה מהטעappleות הבאות היא הappleכוappleה והמלאה ביותר: א. השכיחות ב החברות זהה אך שוappleה מ 8. ב. ג. ד. ה. השכיח ב החברות זהה אך לא appleיתן לדעת מהו. השכיח בשתי חברות היappleו בהכרח 8. שכיח בחברה אחת שוappleה מ 8 ובשappleייה הוא 8. אף תשובה איappleה appleכוappleה. הappleתוappleים הבאים מתייחסים לשאלות עד 5 מס' משפחות appleערך סקר על מספר מקלטי הטלוויזיה הappleמצאים בבית. תוצאות הסקר appleתוappleות בדיאגרמת מקלות הבאה : מס' מקלטי טלוויזיה

66 66 שאלה המשתappleה הappleחקר כאן הוא: א. משתappleה שמי. ב. ג. ד. משתappleה מסולם סדר. משתappleה כמותי בדיד. משתappleה כמותי רציף. שאלה הטווח של ההתפלגות הוא: א ב. ג. ד. ממוצע מספר מקלטי הטלוויזיה למשפחה הוא: א..65 שאלה 3.5 ב. ג. ד. שאלה 4 השכיח של התפלגות זו היא: א ב. ג. ד.

67 67 שאלה 5 מסתבר שיש בין ל- מ 5 שפחות appleוספות שאין להם מקלטי טלוויזיה. ויש לצרף את המשפחות הללו להתפלגות. כיצד הappleתון זה ישפיע על סטיית התקן? א. יקטין אותו. ב. ג. יגדיל אותו. לא ישappleה אותו. ד. אין לדעת

68 68 פתרוappleות: שאלה תשובה א ג ג ג ב ג א ג ג ה ד ב א ג ב ג ה ג ב א ג ב

69 69 פרק - 3 מדדי קשר - מדד הקשר של קרמר רקע: מתי משתמשים במדד הזה? כאשר אחד המשתappleים הוא מסולם שמי והשappleי מכל סולם אפשרי. מדד הקשר מקבל ערכים בין 0 ל-. ככל שהמדד יותר קרוב לאחד קיים קשר בעוצמה יותר חזקה בין המשתappleים. דוגמה: ) פתרון בהקלטה ( Y X במחקר רוצים לבדוק את הקשר בין מין לדעה בappleושא מסוים, שאלו 00 גבר בעד הם בעד/ appleגד/ appleמappleעים באיזשהו appleושא. להלן טבלת השכיחויות המשותפת שהתקבלה. אישה appleגד appleמappleע גברים ו 00 appleשים האם f(x) = f(y) בהקשר של קרמר הטבלה appleקראת טבלת ( observed ) O X- מין (גבר/אישה) סולם שמי Y -דעה (בעד/ appleמappleע/ appleגד) סולם שמי/סדר שלבים בחישוב :r c f(x) =00 שלב א': appleבappleה את טבלת (Expected) E Y X E i =(f (x) *f (y) )/ ואז כל O את המסגרת של טבלת appleעתיק גבר אישה בעד appleגד appleמappleע f(y) שלב ב' : appleחשב ( Oi Ei ) χ = E i i שלב ג' : appleחשב: r c = χ ( L ) כאשר L מבטא את המספר הקטן מבין מספר השורות או העמודות.

70 70 תרגילים: להלן תוצאות מחקר שבדק את הקשר בין מין להשכלה. לגבי כל appleחקר appleבדק המין שלו והשכלתו. להלן התוצאות:. השכלה מין appleמוכה תיכוappleית גבוהה גבר אישה האם קיים קשר בין מין להשכלה? appleמק! appleלקחו 00 אappleשים שמתוכם 60 הצהירו שהם עוסקים בפעילות גופappleית סדירה. מתוך אלו שעוסקים בפעילות גופappleית סדירה בפעילות גופappleית סדירה א. ב. appleמצאו 50 במצב בריאותי תקין. מתוך אלו שלא עוסקים appleמצאו 90 במצב בריאותי תקין. בappleה טבלת שכיחות משותפת לappleתוappleים שהוצגו בשאלה. האם קיים קשר בין פעילות גופappleית למצב בריאותי? חשב לפי מדד הקשר של קרמר..

71 7 פתרוappleות : שאלה שאלה ב. 0.9

72 7 פרק - 4 מדדי קשר - מדד הקשר הליappleארי (פירסון) רקע: המטרה היא לבדוק האם קיים קשר (קורלציה, מתאם) של קו ישר בין שappleי משתappleים כמותיים. מבחיappleת סולמות המדידה קשר בין סולמות רווחים ומappleה. בדרך כלל, X הוא המשתappleה המסביר (הבלתי תלוי) ו Y הוא המשתappleה המוסבר (התלוי).למשל, Y. שלו מסבירה את ההכappleסה X לימוד בשappleות להסביר כיצד השכלה של אדם הappleמדדת appleרצה במקרה זה שappleות ההשכלה זהו המשתappleה המסביר ) או הבלתי תלוי ( ואappleחappleו מעוappleייappleים לבדוק כיצד שיappleויים בשappleות ההשכלה של אדם יכולים להסביר את השיappleויים שלו בהכappleסה, ולכן רמת ההכappleסה זהו המשתappleה המוסבר התלוי במשתappleה המסביר אותו. בשלב הראשון, appleהוג לשרטט דיאגרמת פיזור. זו דיאגרמה שappleותappleת איappleדיקציה ויזואלית על טיב הקשר בין שappleי המשתappleים. למשל, בבappleיין של 5 דירות בדקו את הappleתוappleים הבאים: X - מס' חדרים בדירה. Y- מס' appleפשות הגרות בדירה. להלן התוצאות שהתקבלו: מס' דירה X Y appleשרטט מappleתוappleים הללו דיאגרמת פיזור :

73 73 appleתבוappleן בכמה מקרים של דיאגרמות פיזור וappleappleתח אותן :

74 74 בשלב השappleי, מחשבים את מקדם המתאם ) מדד הקשר ( שבודק עד כמה קיים קשר ליappleארי בין שappleי המשתappleים. המדד ) appleיקרא גם מדד הקשר של פירסון) מכמת את מה שappleיראה בשלב הראשון רק בעין. המדד בודק את כיוון הקשר ) חיובי או שלילי). ואת עוצמת הקשר ) חלש עד חזק). מקדם מתאם זה מקבל ערכים בין - ל. מקדם מתאם -. y= bx+ a הappleוסחה : או אומר שקיים קשר ליappleארי מוחלט ומלא בין המשתappleים שappleיתן לבטאו על ידי מתאם חיובי מלא ) מקדם מתאם ) אומר שקיים קשר לappleארי מלא בו השיפוע b יהיה חיובי ואילו מתאם שלילי מלא אומר שקיים קשר לappleארי מלא בו השיפוע b שלילי ) מקדם מתאם -). מתאם חיובי חלקי אומר שככל שמשתappleה אחד עולה לשappleי יש appleטייה לעלות בערכו אבל לא קיימת appleוסחה ליappleארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט ואילו מתאם שלילי חלקי אומר שככל שמשתappleה אחד עולה לשappleי יש appleטייה לרדת אבל לא קיימת appleוסחה ליappleארית שמקשרת את X ל- Y באופן מוחלט. ככל שערך מקדם המתאם קרוב לאפס appleאמר שעוצמת הקשר חלשה יותר וככל שמקדם המתאם רחוק מהאפס appleאמר שעוצמת הקשר חזקה יותר. מקדם המתאם יסומן באות r.